Pêndulo composto
Princípio:
Considere-se um pêndulo cujo momento de inércia relativamente ao seu centro de gravidade G é IG = mR2
(R é o raio de giração do pêndulo). O cálculo do momento das forças relativamente ao eixo de rotação O, permite
estabelecer a equação do movimento em função do ângulo de inclinação de OG = a em relação à vertical:
IO d2θ/dt2
+ mg.OG sen θ = 0 (1)
De acordo com o teorema de Huygens sobre os momentos de inércia, pode escrever-se que IO = IG + ma2
ou IO = m (a2 + R2).
Se as amplitudes dos osciladores são fracas o suficiente para que
se confunda o seno do ângulo com o ângulo em si, pode fazer-se a integração da equação e daqui deduzir-se que o período é:
(2)
Existem dois valores de a para os quais a duração do período de oscilação é idêntica (para fazer a observação deste caso,
eleve a expressão de T ao quadrado, o que dá uma equação em segundo grau em a).
Desafio: Mostre que o produto a1.a2= R2
e que a soma a1+a2= gT>2/4 p2 é o comprimento do pêndulo simples equivalente
ao pêndulo composto.
O applet:
É possível escolher visualizar uma animação do pêndulo ou a curva T = f (OG), dando o período
em função da distância OG = a.
Neste applet, considera-se um raio de giração de R = 10 cm.
Para que o realismo da animação não fosse compremetido, foi introduzido um pequeno atrito viscoso (termo dθ/dt)
e feita uma integração numérica da equação do movimento (Runge-Kutta de ordem 4).
O ponto vermelho
corresponde ao O, eixo de rotação; o ponto violeta é o centro de gravidade
G do pêndulo.
Os botões [+] e [-]
permitem modificar o valor de a entre 2,5 cm e 50 cm. É possível determinar o período com o auxílio do cronómetro.
A amplitude inicial das oscilações é suficientemente baixa para que a expressão do período dada pela equação (2) seja correcta.
No modo de animação, pressionando o botão direito do rato na área do applet, a animação é parada, sendo retomada quando o botão é largado.
Simulation Numérique de Jean-Jacques ROUSSEAU
Faculté des Sciences exactes et naturelles
Université du Maine - Le Mans
Traduzido e adaptado para a Casa das Ciências
por Manuel Silva Pinto e Alexandra Coelho em Maio de 2011
